Простейший активный фильтр низких частот строится на основе следующей схемы:
(это обычный инвертирующий усилитель, в цепь отрицательной обратной связи которого добавлен конденсатор)
Запишем уравнения для входного и выходного напряжений в операторной форме:
Uin(S)=U1(S)+I1(S)*R1, где U1 — напряжение в точке 1
Uout(S)=U1(S)+I2(S)*Zос=U1(S)+I2(S)*R2/(1+R2CS)
С другой стороны, так как операционный усилитель идеальный (Iвх бесконечно мал), то U1≈0, тогда получим:
Uin(S)=I1(S)*R1
Uout(S)=I2(S)*R2/(1+R2CS)
Так как ток через усилитель бесконечно мал, то I1=-I2, отсюда коэффициент усиления схемы:
Произведем замену S=jω, — получим зависимость K(jω):
Отсюда можно получить выражения для построения АЧХ и ФЧХ:
Для сигналов постоянного тока (ω=0) амплитуда коэффициента усиления такого фильтра равна R2/R1, но с ростом частоты она уменьшается. Чтобы определить полосу пропускания — найдем ωв — частоту, на которой амплитуда коэффициента усиления ослабевает в √2 раз, т.е. становится равной ≈0,7Ko (по другому она называется верхней частотой среза):